타원방정식과 이심율 및 초점 (Eccentricity and Foci of an Ellipse) 계산

타원은 초점 (F₁ 및 F2) 이라는 두 점 까지의 거리의 합이 일정한 모든 점의 집합으로 정의한다. 원 (Circle)은 두 초점이 한 점으로 겹친다.

 

그림 1. 타원 치수

 

타원의 중심에서 초점 (F1, F2) 까지 거리를 c라 하면 c = SQRT(a²-b²)이 되고, 또, a와 c의 비 ( = c/a )를 이심률 e 라 한다. 타원의 이심률은 0 ≤ e < 1 이다.

 

표준 타원 방정식은 아래와 같다.

 

(식 1) (x - c1)² / a² + (y - c2)² / b² = 1

 

여기서,

(c₁, c₂) : 타원 중심의 좌표

a : 장반경 (타원 중심에서 타원까지 가장 긴 거리), |PF1| + |PF2| = 2a

b : 단반경 (타원 중심에서 타원까지 가장 짧은 거리)

c : 타원의 중심에서 초점 (F1, F2) 까지 거리

e : 이심율

F1, F2 : 초점 

면적 : A = π × a × b

둘레 : P = 2π x SQRT[(a²+b²) / 2]

이다.

 

수평 타원의 초점은 다음과 같다.

 

F1 = (-SQRT(a²-b²) + c1, c2)

F2 = (SQRT(a²-b²) + c1, c2)

 

수직 타원의 초점은 다음과 같다.

 

F1 = (c1, -SQRT(b²-a²) + c2)

F2 = (c1, SQRT(b²-a²) + c2)

 

수평 타원의 이심율과 초점 좌표는 아래 계산기로 구할 수 있다.

 

장반경, a :

단반경, b :

중심 x좌표, c1 :

중심 y좌표, c2 :

     

이심율, e :

F1 좌표 : ( , )

F2 좌표 : ( , )

 

* 참고 자료

1. 타원 둘레와 면적 (Perimeter & Area of Ellipse) 계산

2. 타원의 둘레 (라마누잔 근사식, Ramanujan 근사식) 계산