종단 속도 (Terminal Velocity) 계산

종단 속도 (최종 속도)는 물체가 공기나 물과 같은 점성 매체를 통과할 때 도달할 수 있는 최대 속도이다.

이는 물체에 작용하는 중력이 물체의 낙하를 방해하는 저항력 (항력과 부력의 합)과 같을 때 발생한다.

종단 속도에서 물체에 영향을 미치는 합력이 0이므로 물체의 가속도는 0 이고 속도는 일정하다.

 

물체의 질량, 단면적, 항력 계수, 낙하하는 유체의 밀도 등 여러 요소가 종단 속도에 영향을 미친다.

 

유체 속에서 낙하하는 물체에 작용하는 힘 2가지는 중력과 항력이다.

중력은 Fg = mg 이고, 항력 Fd = ½ ρ Cd A V² 이다.

최종 속도에서 물체의 가속도는 0 이고 이 때 이 물체에 미치는 합력은 0 이므로 Fg = Fd 이다.

 

위로부터, mg = ½ ρ Cd A V²  이며, 이 식에서 구한 최종 속도 Vt는 아래 식과 같다.

 

(식 1) Vt = SQRT (2mg/ρACd)

 

여기서,

Vt = 최종 속도 (m/s)

m = 낙하하는 물체의 질량 (kg)

g = 중력 가속도 (9.80665 m/s² = 1 g), 해수면에서 지구 중력으로 인한 표준 가속도

ρ = 유체 밀도 (kg/m³)

Cd = 항력 계수

A = 물체의 단면적 (m²)

이다.

 

위 식으로부터 단면적이 크거나 항력 계수가 높은 물체가 단면적이 작거나 항력 계수가 낮은 동등한 물체보다 더 느리게 떨어짐을 알 수 있다.

또한 다른 변수가 동일할 때 가벼운 물체는 최종 속도가 더 낮다.

 

물체의 질량, m (kg) :

유체의 밀도, ρ (kg/m3) :

단면적, A (m2) :

항력 계수, Cd :

     

종단 속도, Vt (m/s) :

 

유체의 밀도 기본값은 공기이며, 해수면에서 온도가 15 °C 일 때 공기의 밀도 1.225 kg/m³ 를 적용한다.

 

예를 들어, 반경 30 cm, 무게 20 kg 의 구형 물체를 충분히 높은 곳에서 떨어뜨릴 때 도달하는 최종 속도를 구해보자.

구형의 항력 계수는 약 0.47 이고, 공기 밀도는 1.225 kg/m³ , 중력가속도는 9.80665 m/s² , 투영면적은 0.2827 m² 이다.

Vt = SQRT (2mg/ρACd) = SQRT (2*20*9.80665/1.225*0.2827*0.47) = 49.1 m/s 이다.

 

* 참고 자료

1. 항력 (Drag Force) 계산 및 항력 계수